Матрицы

Матрица как таблица. Матрица — это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоуголь­ной таблицы:

Такая таблица, состоящая из m строк и n столбцов, содержит mn клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет размер m x n и ее называют (m x n)-матрицей. Позицию на пересечении i-й строки и j-го столбца будем называть ij-клеткой.

Числа или любые другие объекты, расположенные в клетках таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной. В общем обозначении элемента a_ij первый индекс i всегда указы­вает номер строки, а второй — номер столбца. Элемент, располо­женный в ij-клетке, называют ij-элементом.

Матрица обозначается одной буквой (часто буквы, обозначающие матрицы, набирают жирным шрифтом или снабжают какими-либо дополнительными символами). Однако независимо от принятого способа обозначения матрица всегда является совокупностью таблично упорядоченных элементов. Две матрицы равны, если и только если равны их соответствующие элементы, т. е. А = В при условии a_ij = b_ij (i = 1,2, ... , m; j = 1,2, ... , n). Ясно, что сравнивать можно только матрицы одного и того же размера, между элементами которых определено отнсшение равенства.

Матрицы, элементами которых являются вещественные или комплексные числа, называют соответственно вещественными или комплексными. Пусть А — комплексная (m x n)-матрица с элементами a_kj = r_kj+ib_kj. Матрица А^* того же размера с элементами a^*_kj = r_kj-ib_kj называется комплексно-сопряженной с А.

Часто для упрощения нулевые элементы в таблицу не записывают, но при этом имеют в виду, что пустые клетки также содержат числа (нули).

Кроме приведенной выше клеточной записи, используют и дру­гие способы представления матриц, например:

Матрицы впервые появились в середине XIX столетия в работах английских математиков А.Кэли и У.Гамильтона. Представление совокупностей элементов в виде матриц и разработанные правила операций над ними оказались весьма плодотворными в ма­тематике и нашли широкое применение в физике, технике, эконо­мике. Существенный вклад в разработку общей теории матриц и ее приложений внесли советские математики И.А.Лаппо-Данилевский, А.Н.Крылов, Ф.Р.Гантмахер, М.Г.Крейн.